RESUMO - JORNADA

TÍTULO: O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-

HISTÓRICA: delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos

alunos.

ORIENTADORA: PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA

ALUNO: AILTON BARCELOS DA COSTA

RESUMO

A motivação inicial para nosso trabalho foi o grande número reprovações nas disciplinas iniciais de Cálculo na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), nos últimos dez anos, bem como a análise de dados de algumas universidades brasileiras, sobre o chamado fracasso do ensino de Cálculo, bem como de nossa experiência em trabalhar com a temática lógico-histórica na Iniciação Científica, levando-nos à questão de investigação.

Assim, adotamos uma pesquisa de cunho histórico-bibliográfica, onde esta se faz preferencialmente sobre documentação escrita, cuja coleta de informações é feita a partir de fichamento das leituras. Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, que permitem uma obtenção mais direta e imediata dos dados, na qual classificamos por semi-estruturadas.

Nesse sentido, após entrevistarmos professores que ministraram aulas de Cálculo, transcrevemos e analisamos tópicos das entrevistas para levantamento das dificuldades de aprendizado dos alunos, o qual nos ajudou a compreender as dificuldades de aprendizado, levando-nos a começarmos pelo estudo do sobre os conceitos de discreto e contínuo no Cálculo, no qual foi abordado o desenvolvimento da Matemática Discreta e da Matemática Contínua, desde os gregos até a chegarmos à análise não-standard.

Então, com a história e o desenvolvimento dos conceitos do Cálculo Diferencial e Integral, em seguida, para compreendermos os nexos conceituais do Cálculo, historicamente construídos, o que nos levou ao estudo dos chamados nexos conceituais, buscando os currículos e livros didáticos para

analisarmos como foi estruturado o ensino do Cálculo nas escolas de nível médio, desde a década de sessenta, até os dias atuais, enfatizando como era feito o ensino de tal disciplina e sua mudança com o surgimento do Movimento da Matemática Moderna, o que levou-nos a fundamentamos para discutir a importância da História da Matemática nos cursos de Cálculo, bem como algumas sugestões metodológicas que têm como foco, História do Cálculo.

Por fim, indicamos os delineamentos, de uma possível proposta metodológica para o ensino do Cálculo, o qual segue a delimitação de uma proposta de ensino, da qual concluímos que pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é o estudo da disciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunho histórico, com uma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos, em vez do enfoque metodológico tradicional.

CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE

Segundo OLIVEIRA (1997), a antiguidade foi a época da concepção de função, pois a idéia de funcionalidade de uma certa maneira, segundo SÁ at all (2003), não é recente na mente humana. Por exemplo, quando o homem levado pela necessidade, passou a associar uma pedra a cada animal visando ao controle de seu rebanho, poderíamos encarar essa relação de dependência entre as pedras e os animais como uma relação funcional. Levando em consideração esse raciocínio, podemos citar os babilônicos que construíram tabelas em argila, e para cada valor na primeira coluna existia um número na segunda, que era o resultado da multiplicação do número da primeira por uma constante, segundo SÁ at all (2003). Já OLIVEIRA (1997), ressalta que os Babilônios, em 2.000 a. C., fizeram tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadráticas, de cubos e raízes cúbicas, e outras, revelando o “instinto funcional”.É importante destacar que, para os BabIlônios, cada problema exigia uma nova análise, pois eles não desenvolveram procedimentos ou regras gerais para resolverem problemas semelhantes (SÁ at all, 2003). Semelhante aos babilônicos, os egípcios construíram também tabelas, na maioria das vezes em papiros, que segundo BOYER (1974) apresentavam o resultado de investigações empíricas, ou na melhor das hipóteses, generalizações que eram o resultado da indução incompleta de casos mais simples para casos mais complicados.Dentre os gregos, poderíamos citar a contribuição de Ptolomeu. Em sua obra Almagesto, desenvolveu idéias funcionais.

Segundo MENDES (1994, p.12), AABOE (1984, p.20) cita que ele trabalhou na área da astronomia, e que, desenvolveu ferramentas matemáticas, entre elas a trigonometria. Ele utilizou tabelas envolvendo a função da corda do arco x, ou crd x, mas sem fazer referência a palavra função. E ainda entre as idéias funcionais gregas temos os symptons, que eram a condição necessária para que um ponto pertencesse a uma curva. Apolônio e Arquimedes chegaram a utilizar os symptons. Já OLIVEIRA (1997) fala que entre os Pitagóricos aparece a idéia de função no estudo da interdependência quantitativa diferentes em quantidades físicas, como por exemplo, o comprimento e a altura da nota emitida por cordas da mesma espécie, pinçadas com tensões iguais, o que revelou uma interdependência inesperada entre número, espaço e harmonia. Assim, apesar de tantos exemplos que indicam a presença das dependências funcionais, “não havia nenhuma idéia geral de funcionalidade na Antiguidade”, para YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 13), o que mostra que o pensamento matemático na Antiguidade não criou nenhuma noção geral nem de quantidade variável nem de função. BIBLIOGRAFIA BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Trad. de Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. MENDES, Maria Helena Monteiro. O conceito função: aspectos históricos e dificuldades apresentadas por alunos na transição do segundo para o terceiro grau. Dissertação de Mestrado - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1994. OLIVEIRA, N. Conceito de Função: uma Abordagem do Processo Ensino-Aprendizagem. Dissertação de Mestrado. PUC: SÃO PAULO, 1997. SÁ, P. F.; SOUZA; G. S.; SILVA, I. D. B. A construção do conceito de função: Alguns dados históricos. Traços, Vol. 6, Nº 11, p. 81 – 94. Belém, 2003. YOUSCHKEVITCH. “Le concept de fonction jusqu’au milieu Du XIX siècie”, Fragments d’historie dês Mathematiques, Brochure APMEP, Nº 41, p. 7 – 67, 1981

QUESTÕES - INSTRUMENTAÇÃO B

QUESTÕES – INSTRUM. B – 22/05/2009 Ailton Barcelos da Costa 1.Discuta as conexões que poderia fazer com as aulas simuladas de Geometria plana, Semelhança de Triângulos e de Função Exponencial. Sabemos que semelhança de triângulos, trabalhada em três casos no ensino médio, é um dos tópicos da geometria plana, ambos trabalhados em R2. Também sabemos que se adotarmos a Geometria Plana como ponto de partida, daí culminaremos com os casos de congruências de triângulos, fundamentais para a Geometria Plana Métrica. Assim, dentro da geometria métrica podemos construir o plano cartesiano em R2. Já quando tratamos de funções exponenciais, os gráficos estão também em R2. Dessa forma, a primeira conexão que achamos entre os três tópicos citados é que ambos são trabalhados em R2, dentro do plano cartesiano, construído pela geometria plana métrica. 2.Quais são e onde estão os pontos notáveis de um triângulo retângulo e de um triângulo eqüilátero? Se os 4 pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) são colineares, então o triangulo ABC é isósceles. Já se os 4 pontos coincidem, então o triangulo é eqüilátero. PS: Apenas relembrando: Baricentro: encontro de medianas; Incentro: encontro de bissetrizes; Circuncentro: encontro de mediatrizes; Ortocentro: encontro de alturas. 3.Por um ponto fora de uma reta, quantas retas paralelas passam? Podemos afirmar que por um ponto fora de uma reta, passa uma única reta paralela a ela, pois temos: Teorema: Por um ponto fora de uma reta se pode traçar uma única reta paralela a ela. Dem.: Seja r uma reta dada e seja A um ponto situado fora de r. Seja  o plano determinado por A e r. Seja s a paralela a r em , traçada por A. Para mostrar que s é a única paralela a r traçada por A, suponha que uma outra reta s’ passe por A e seja paralela a r. Como s’ é paralela a r, existe um plano ’ contendo r e s’. Mas tal plano ’ contém r e A e, portanto, coincide com . Logo s’ (da mesma forma que s) é uma paralela a r traçada por A e coincida em . Pelo Postulado de Euclides, s e s’ coincidem, que demonstra a unicidade de reta paralela. PS: Postulado de Euclides ou das retas paralelas: Dados uma reta  r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s.

REPENSANDO O ENSINO E A APRENDIZAGEM

Segue apresentação de trabalho de conclusão de curso da UNICAMP sobre ensino e aprendizagem. De acordo com RODRIGUES (2006, pg. 8), temos: Enquanto aluna e professora, me coloco a escrever este memorial, num movimento onde procuro entrelaçar a minha experiência sob essas duas perspectivas em relação à educação matemática. Dessas duas condições, a partir das quais me propus refletir, direcionei meu pensamento para o processo de ensino-aprendizagem, detendo-me mais especificamente na maneira, como ocorreu e ocorre, esse ato de aprender e ensinar matemática na minha vida. Procurei explicitar as conseqüências que os métodos de ensino tradicional e progressivista tiveram sobre a minha formação e a maneira como eles influenciaram a minha constituição profissional. Para isso, me utilizei das idéias de Burrhus F. Skinner, Jean Piaget e Lev S. Vygotsky, relacionando-as às mudanças ocorridas. Outro aspecto destacado foi a grande descoberta que fiz durante esse processo de formação no curso de Pedagogia: de como eu precisava viver a experiência de recriar os conceitos ensino-aprendizagem, tendo um novo sentimento em relação a eles. Também salientei o quanto percebi, concomitantemente, que isso possibilitaria o desencadear de uma nova postura da minha parte e uma mudança de atitudes no meu cotidiano, ou seja, me tornaria capaz de uma prática docente renovada. Quis ressaltar que foi a partir das contribuições da disciplina “Teoria Pedagógica e Produção em Matemática”, que procurei encaminhar essas reflexões, visto que a experiência vivida no segundo semestre (quando ela foi ministrada) foi muito relevante, no sentido de desencadear questionamentos sobre essa prática docente e também, esclarecimentos sobre a maneira como as crianças “constroem seus conhecimentos matemáticos através da investigação e da interação”. (LOPES, 2003, p.23). Por conta disso, há um destaque feito para o projeto “Agasalhando a quem tem frio”, desenvolvido na faculdade durante essa disciplina. Outro projeto apresentado – “Valores e virtudes” – tem feito parte do meu planejamento nesse ano, na unidade de Educação Infantil onde estou trabalhando. Utilizo-me dele para manifestar a maneira como o movimento conceitual tratado tem sido incorporado à minha prática. Por fim, é evidenciada a importância da postura filosófica na constituição do professor enquanto profissional, postura essa que passei a valorizar e considerar indispensável no meu cotidiano, ao longo do curso de Pedagogia. Segue link para download: http://www.4shared.com/get/62215761/636e63c7/RodriguesSA362.html

A AFETIVIDADE NA RELAÇÃO ENSINO/ APRENDIZAGEM

Ao longo de dois anos cursando especificamente disciplinas de educação, formei um acervo que quase 200 trabalhos, teses, artigos e dissertações referentes à Educação Matemática.

Aqui o que pretendo é tornar publico os link's para estes trabalhos, já que, por experencia própria, quando queremos consultar um destes trabalhos, para quem não familiarizado com os bancos de teses e artigos, nunca se encontra o que precisamos.

Então, segue abaixo a apresentação de um trabalho de conclusão de curso da UNICAMP, que pode ser util...

De adordo com Peroggini (2006, pg. 7), temos:

O presente memorial representa uma longa caminhada, na qual cada passo dado significa um aprendizado, uma marca que pode ser boa ou ruim. São as minhas experiências, com todos os seus detalhes, assim como em um caminho onde encontramos árvores, pássaros, pedras, descidas e subidas, escuridão e luz. Minha infância e os sentimentos de criança, minha escola, o magistério e a faculdade de Pedagogia - Proesf - fazem parte deste memorial de conclusão de curso, relacionando as experiências pessoais e profissionais com os conhecimentos formais até então adquiridos. Fazendo uma reflexão sobre a minha história de vida, percebi que os sentimentos e a afetividade sempre fizeram muita diferença nas ações e decisões realizadas. Por isso, pensei que seria interessante aprofundar os meus conhecimentos sobre esse assunto. Assim, o tema deste memorial ficou sendo “A afetividade na relação ensino-aprendizagem”. Além das minhas memórias, faço uma reflexão sobre as relações entre afetividade e cognição, sobre a afetividade e algumas concepções pedagógicas e sobre a necessidade de um novo olhar do professor em relação ao aluno.

Segue link para download: http://www.4shared.com/file/62215757/a1209531/PerogginiLFX398.html