O Enfoque Sócio-Histórico-Cultural Nas Dificuldades de Aprendizagem

1. Interação e aprendizagem

Estamos ‘mergulhados’ num mundo de coisas que nem sempre nos dizem algo, assim, aprender também é envolver-se, sair da indiferença, ou seja, é um movimento profundamente afetivo, através do qual o sujeito apossa-se do objeto de conhecimento. Também pode-se dizer que é um movimento afetivo, porque “o caminho do objeto até a criança e desta até o objeto passa através de outra pessoa” (VYGOTSKY, 1991, p.33). Assim sendo, no processo de ensino-aprendizagem é indispensável que se estimulem os relacionamentos e se tenha o diálogo como estratégia, para que se desencadeiem reflexões, confrontações, conclusões, enfim, aconteça a aprendizagem. Segundo a perspectiva teórica histórico-cultural, que expressa as idéias de Vygotsky, pode-se dizer que ser desprovido da interação social impede o homem de tornar-se humano e desenvolver-se como tal, porque a atividade consciente do homem não está ligada unicamente à questão do desenvolvimento biológico. Assim, “escutar não significa ouvir e enxergar nem sempre é ver”, é preciso que os órgãos dos sentidos passem por um processo de humanização. Conforme Vygotsky (1991, p.33), “essa estrutura humana complexa é produto de um processo de desenvolvimento profundamente enraizado nas ligações entre história individual e história social”. Nascemos com mecanismos ou funções psicológicas (percepção, memória, atenção, capacidade para solucionar problemas), que vão se transformando e constituindo devido à influência cultural ou “imersão cultural”. Assim sendo, nessa perspectiva, é essencial a mediação, por se considerar que através das relações sociais e participação em atividades e práticas culturais o ser humano apropria-se das ‘coisas’ pertencentes ao meio. A aprendizagem realiza-se então, pela mediação do “outro” e não apenas pela interação com o “objeto de conhecimento”, como na perspectiva construtivista. Como já comentado antes, as experiências com processos de ensino que eu tinha, eram as referentes ao ensino tradicional e construtivismo, que eu acreditava, até entrar na faculdade, ser o “melhor”. Embora tanto as idéias de Vygotsky (1991) como de Jean Piaget (1975) (consideradas na teoria construtivista), tenham caráter interacionista há, no entanto, grandes diferenças na maneira de conceber o processo de desenvolvimento, diferenças essas que, quando conheci, fizeram-me refletir e posicionar-me de outra maneira em relação à minha prática pedagógica. Resumidamente, quanto a essas diferenças quero destacar: - O enfoque dos fatores internos no processo de desenvolvimento em Piaget (maturação biológica) e, externos em Vygotsky (ambiente social); assim, no primeiro enfoque a construção do conhecimento procede do individual para o social e, no segundo o contrário, do social para o individual. - Em relação à linguagem e pensamento, para Vygotsky (1991) são interdependentes desde o início da vida, sendo o pensamento favorecido no seu desenvolvimento pela linguagem. Para Piaget (1975), o pensamento aparece antes da linguagem, sendo assim, ela não favorece o seu desenvolvimento. - Quanto a aprendizagem, Piaget acredita que ela subordina-se ao desenvolvimento e tem pouco impacto sobre ele, o que minimiza o papel da interação social. Em Vygotsky, o desenvolvimento e a aprendizagem são processos que se influenciam reciprocamente. Dessa forma, considerando que a aprendizagem gera desenvolvimento, o papel do professor não é simplesmente facilitar a aprendizagem, organizando o meio favoravelmente para que ela ocorra, mas é intervir de forma oportuna, ensinando aquilo que a criança é incapaz de descobrir por si, o que não tira da criança a possibilidade de explorar e interagir. Assim, a escola é o lugar onde a intervenção pedagógica intencional desencadeia o processo ensino-aprendizagem, sendo o objeto dessa intervenção a construção de conceitos. Nessas condições, vale lembrar que a relação professor-aluno deve ser de proximidade pois, para intervir de forma oportuna, o professor precisa conhecer bem esse aluno, para saber que intervenções ele necessita para poder progredir no seu desenvolvimento. Faz-se necessária então, uma atenção especial de forma que não haja o desprezo da criança com suas idéias e sentimentos, para que não ocorra o que diz a citação: A díade adulto-criança não estabelece em nossas sociedades atuais uma interação. Nesta relação unívoca, o adulto desempenha o papel emissor, aquele que ensina, e a criança, o papel de receptor, aquele que aprende. (ROSEMBERG, 1976, p.1466) Conforme a citação, nós adultos, temos a tendência de não ouvir a criança, nos comportamos como se elas fossem desprovidas de uma experiência pessoal, de uma história de vida (ainda que curta). Enfim, quando nos aproximamos e nos dirigimos a ela, geralmente desconsideramos que tenham algo a partilhar, que pensam, que sentem, vamos impondo ‘coisas’ e ‘despejando’ nelas informações, ordens, como se elas precisassem somente disso. Temos atitudes que fazem prevalecer “o desrespeito à cultura da criança, chegando mesmo a inibição da sua manifestação” (MARCELLINO, 1990, p.54). Nesse sentido, é preciso um novo olhar na direção dessa criança, que vá além da aparência. Porque, se nos determos naquilo que ela aparenta, a idéia de fragilidade e incapacidade talvez nos domine, impedindo a valorização da “potencialidade” nela presente. Incorremos também no erro do “adultocentrismo”, olhando de cima as crianças, e não na altura dos seus olhos, ou seja, evitamos olhá-las nos olhos e deixamos de ver o mundo que se apresentava à sua altura. Não estaremos sofrendo de uma espécie de historiocentrismo, deixando-nos tomar por uma visão inútil porque afogada nos problemas cotidianos imediatos? Aprender com as crianças pode ajudar a compreender o valor da imaginação, da arte, da dimensão lúdica, da poesia, de pensar adiante. Entender que as crianças tem um olhar crítico que vira pelo avesso a ordem das coisas, que subverte-o sentido de uma história, que muda a direção de certas situações, exige que possamos conhecer nossas crianças, o que fazem, de que brincam, como inventam, de que falam. E que possam falar mais... (BASÍLIO e KRAMER, 2003, p.105 e 106). Outra postura comum dos adultos que precisa ser corrigida, gira em torno do “futuro das crianças”. Normalmente, há a preocupação na família e na escola em “preparar a criança para a vida”, numa atitude de desconsideração dela mesma e do seu presente. Acabamos por roubar dela o direito que tem de deixar desabrochar a sua identidade, lhe impondo a identidade que queremos para ela. Isso expressa a desconsideração da sua individualidade, uma maneira de relacionar-se onde não há uma interação correta que favoreça o aproveitamento daquilo que ela já é, como ponto de partida para favorecer o seu desenvolvimento.

BIBLIOGRAFIA

1. BASÍLIO, Luís C. & KRAMER, Sônia. Infância, Educação e Direitos Humanos. São Paulo: Cortez, 2003.

2. MARCELLINO, Nelson C. Pedagogía da animação. Campinas, SP: Papirus, 1990.

3. PIAGET, Jean. A Epistemologia Genética e Problemas de Psicologia Genética. Os Pensadores – História das grandes idéias do mundo ocidental. São Paulo: Abril S.A.Cultural e Industrial, 1975.

4. ROSEMBERG, Fulvia. Educação: para quem? Ciência e Cultura, nº 28, dezembro de 1976.

5. VYGOTSKY, Lev S. A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes, 1998.

PIAGET E O PERÍODO PRÉ-OPERACIONAL

A entrada na infância é marcada pela capacidade de representar o mundo que a cerca, onde ela não se limita a só olhar. A partir do momento em que as ações passam a ser interiorizadas, a criança pode evocar objetos ausentes, reconstruir experiências e acontecimentos do passado, imitar modelos não presentes, brincar de faz de conta e, mesmo, antecipar novos acontecimentos e experiências. No sensório motor, a única representação possível era constituída índices. Nesse caso, a voz de alguém poderia significar sua presença próxima; dirigir-se ate á porta de saída seria indicativo de ir passear. Para melhor esclarecer os dois tipos de significação, tomemos uma conduta de imitação nos dois períodos. Supondo que um bebê de, aproximadamente dois anos acaba de presenciar a situação de uma criança dormindo no berço, ele a reproduziria colocando-se na posição horizontal e encolhida, ou deixando pender a cabeça para um lado, como os olhos fechados. Por sua vez, a criança é capaz de usar símbolos e não índices, representaria a mesma situação com qualquer objetos que se assemelhassem a alguma forma ao que constatou. A imitação do modelo ausente não é a única maneira de representação. Alem da imitação diferida, a fazem parte da função simbólica o desenho, o jogo simbólico, a imagem mental e a linguagem verbal. De posse de novos instrumentos que lhe permitem melhor compreensão da realidade e inter-comunicação com as pessoas, quando brincam ou realizam juntas alguma tarefa as crianças inicialmente se expressam mediante monólogos coletivos. Essa tentativa inicial de comunicação revela um traço bastante geral do pensamento da criança dessa etapa, que Piaget chama de egocentrismo. Mais tarde, ainda neste estagio, esta criança passará a um dialogo mais sociabilizado, em que a fala e a opinião do outro começaram a ser respeitadas. Só na etapa seguinte o dialogo envolverá as várias perspectivas em jogo. No entanto, apenas o adolescente terá condição de empenhar-se na discussão e na critica, desenvolvendo-se plenamente as relações de reciprocidade e cooperação em grupo. Diversamente, o raciocínio infantil da etapa pré-operacional não permite criticas e não leva em conta reciprocidades, nem relações inclusivas. Constitui-se no que Piaget denomina de raciocínio pré-conceitual, em que a classe lógica oscila entre a individualidade e a generalidade, sem considerar relações de pertença, nem de inclusão de classes. É também um raciocínio transdutivo, que vai do particular ao particular. A criança dessa fase centra-se em estados e é incapaz de coordena-los com transformações, assimilando a mudança de aparência à mudança de aparenci à mudança de identidade. Os por quês são também a Tonica no cotidiano da criança da fase pré-operatória. Aqueles emitidos pelos adultos diante de rebeldias e teimosias das crianças, contrapõe os seus. Estas perguntas, tão significativas nesta etapa, são exemplos reveladores de que a criança não diferencia o por quê físico do por quê psicológico. A tendência é compreender um pelo outro ou buscar a explicação simultânea de ambos. Ao lado do fatalismo que conduz a criança a tomar a causa pela finalidade e vice-versa, aparecem, igualmente, outras tendências que, como esta, são manifestações da indiferenciação que faz o pensamento infantil entre o que é psíquico e o que é físico.Mas o que é mais marcante na pré-lógica do pensamento infantil é a irreversibilidade, a incapacidade de fazer mentalmente desvios e contornos, de chegar a ponto de partida por caminhos diversos.

Pré-projeto: Sequencias no contexto multicultural

Introdução e Justificativa

Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”.3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. 3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. 3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. 3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. 3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. 3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. 3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. 3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. 3.1 Introdução e Justificativa Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a problemática de se utilizar a metodologia tradicional no ensino de matemática para, em particular, o segundo ano do ensino médio. Aqui, o ensino tradicional está associado ao ensino memorístico, onde o aluno apenas copia o que está na lousa, não participando do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. Através dessas observações, percebemos as dificuldades dos alunos ao aprender os conceitos matemáticos, principalmente aqueles relacionados ao pensamento algébrico. Assim, temos como hipótese que, um dos motivos destes alunos apresentarem tais dificuldades está relacionado à Metodologia de Ensino escolhida pelo professor. Isso não quer dizer que, o professor é o único responsável por fazer o ensino. Para tentar minimizar estas dificuldades, resolvemos propor uma Metodologia que se fundamenta na História da Matemática, através do MINI-CURSO: "SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES NO CONTEXTO LÓGICO-HISTÓRICO". Entendemos que a análise sobre o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no ensino, têm condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer com a realidade. Há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Dessa forma, acreditamos que o aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Também, sabemos que, de acordo com SOUSA (2004), os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, praxis, movimento, fluência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pensamento. Ao assumirmos o lógico-histórico enquanto formas de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003), consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto o homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens” RIBNIKOV (1987, pág. 12). Entendemos que a história dos conceitos matemáticos, só tem sentido, na sala de aula, quando professores e estudantes compreenderem o movimento das abstrações do pensamento que compuseram as formalizações que estudamos. Para nós, fica difícil imaginar a construção de algum processo pedagógico sem a construção dessas conexões. Defendemos a idéia de que, sem essas conexões pode não ocorrer apropriação de conceitos científicos de forma automática. Portanto, fica muito difícil se referir ao conhecimento humano, sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino diário não é considerado. Aqui, a função da História da Matemática no ensino, de acordo com SOUSA (2004, pág. 101), a partir do lógico-histórico “assume o papel de elo de ligação entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas definibilidades que permitam compreender a realidade estudada”. Bibliografia

* LANNER DE MOURA, A. R., SCARLASSARI, N. T. Dificuldades de alunos do ensino fundamental, em álgebra e suas possíveis origens. Faculdade de Educação, UNICAMP/SP. Relatório final de atividades relativo ao projeto de iniciação científica - CNPQ, 2001.

* SOUSA, MARIA DO CARMO DE. O ENSINO DE ÁLGEBRA NUMA PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: um estudo das elaborações correlatas de professores do Ensino Fundamental. UNICAMP, 2004. Tese de Doutorado.

* RÍBNIKOV, K. - Historia de las matemáticas. Editorial Mir Moscú, 1987.

A ESCOLA COMO MEIO DE CONSERVAÇÃO SOCIAL

Na sociedade moderna do final do século XX e início do XXI, a partir da escolarização universal, onde todos tem acesso à escola, surge uma contradição, pois, de acordo com LAGE (2008), ao mesmo tempo em que a escola instituiu a “cultura certificada” tornando-a o novo capital (BOURDIEU, 1996), possibilitando assim o acesso à democratização social, também permitiu que se formassem hierarquias sociais fundadas nas lógicas da distinção e da reprodução social. A educação formal se tornou um recurso social disputado, na medida em que se tornou um instrumento legítimo de conservação social e um princípio considerado adequado para o estabelecimento de hierarquias. Por meio da escola pode-se distinguir os níveis educacionais alcançados bem, como a instituição cursada possibilitando, em alguns casos de sucesso escolar, uma chance maior de se alcançar uma mobilidade social ascendente. Bourdieu (1999) em seu clássico estudo sobre a escola conservadora demonstra, a partir do caso francês, que o sistema escolar é um dos fatores mais eficazes de conservação social ao tornar legítima a reprodução dos valores que fundamentam a ordem social. Segundo LAGE (2008), um dos principais questionamentos de Bourdieu (1999) refere-se não só as desigualdades de acesso à escola, mas também às desigualdades produzidas na escola, que acabam por determinar a eliminação contínua das crianças oriundas das classes desfavorecidas. Desse modo, pode-se achar uma argumentação do texto de Nogueira & Nogueira, que afirma que Bourdieu enfatiza que a sociedade produz, e a escola reproduz, uma oposição entre dois modos diferentes que os indivíduos apresentam, de acordo com sua origem social, de se relacionar com o mundo da cultura. Assim, o primeiro modo, define-se por uma relação de tipo aristocrático, que próprio dos dominantes. O segundo modo, do tipo dos dominados, que é definida por uma relação de tipo popular, caracterizada pela estranheza e pelo embaraço. Na obra bourdieusista, o mais importante é modo pelo qual a cultura foi adquirida: por familiarização insensível, caso dos agentes socialmente privilegiados, ou por inculcação escolar, no caso dos agentes sociais desfavorecidos. Trata-se aqui e dois modos aquisição de cultura: o aprendizado total, precoce, efetuado no seio da família, e o tardio, pela ação pedagógica. A escola também reproduziria, segundo Nogueira & Nogueira, a seu modo, a distinção entre os modos básicos de relacionamento com a cultura: o primeiro, desvalorizado, expresso pelo aluno esforçado, estudioso e aplicado, e um segundo, valorizado, representado pelo aluno brilhante, talentoso e precoce, que atende às exigências da escola sem um esforço grande. Dessa forma, o sistema de ensino, segundo Bourdieu, consagraria o segundo tipo. Assim, encontra-se uma contradição no funcionamento do sistema escolar, ou seja, ao mesmo tempo em que a escola valoriza a relação “cultivada” com o saber, menosprezando a relação escolar com o saber e classifica como inferior o servilismo escolar do bom aluno excessivamente aplicado. Já o texto de Ana Paula Hey e Afrânio Mendes Catani, mostra que Bourdieu questionou que, como pequenos grupos de indivíduos conseguem se apoderar dos meios de dominação. Para ele, compreender o mundo converte-se em instrumento de libertação. A partir de uma definição de cultura, Bourdieu mostra que a dominação cultural se expressa na fórmula segunda a qual cada posição na hierarquia social corresponde a uma cultura especifica, distinta. Temos que a cultura é central no processo de dominação, através da imposição de sua cultura às classes subalternas. Aqui o sistema de ensino desempenha um papel importante nessa dominação cultural. Hey e Catani continuam o dossiê tratando da escola como reprodutora da dominação, onde começa dizendo que a função do sistema de ensino é servir de instrumento de legitimação das desigualdades sociais. Aqui a escola é conservadora e mantém a dominação dos dominantes sobre as classes populares, reforçando as desigualdades sociais. A apropriação do autor pelo campo educacional brasileiro ocorre de forma mais incisiva no uso das noções desvinculadas de sua epistemologia. Enfim, Bourdieu nos ensina que toda prática humana encontra-se imersa em uma ordem social. Também segundo LAGE (2008), ao refletirmos sobre o caso brasileiro, já que Bourdieu estudo o modelo francês, pode-se perceber que o nosso sistema de ensino caracterizou-se por uma rápida expansão nos últimos anos, em todos os níveis. De acordo com Silva (2003), numa análise da estratificação educacional brasileira atual, o ensino fundamental alcançou uma universalização do acesso das crianças de 7 a 14 anos, já que 97% delas estão matriculadas. Continuando com LAGE (2008), temos que algumas destas barreiras foram descobertas por RIBEIRO (1991), que identificou um estranho fenômeno, no sistema educacional brasileiro, capaz de impedir o avanço dos estudantes em seus percursos escolares através de uma prática denominada de “pedagogia da repetência”. A prática da repetência apresenta um componente cultural e foi incorporada de tal modo à nossa filosofia de ensino que passamos a considerá-la natural. Aqui faz-se necessário uma breve digressão sobre a chamada pedagogia da repetência. O texto de BARRETO, vem mostrar a relação entre os ciclos e progressão continuada, pode ser vista nas iniciativas de adoção do regime de ciclos escolares ensaiadas até a década de 70 tiveram como referencia o sistema de avanços progressivos adotado nas escolas básicas dos Estados Unidos e da Inglaterra. Também, por sua vez, a implantação na década de 60 correspondia à intenção de regularizar o fluxo de alunos ao longo da escolarização, eliminando ou limitando a repetência. Por sua vez, a progressão continuada, tem como pressuposto a eliminação da repetência, que é o mecanismo que vem trazer a conservação social. Dessa forma, com fracasso dos ciclos e progressão continuada no Brasil, mostrado no texto de BARRETO, a escola acaba atuando como fim propiciador de mecanismos de reprodução social, como também de mobilidade educacional e social, impedindo a possibilidade de grande partes dos nossos alunos romperem com a lógica de uma escola “conservadora”, e almejarem uma posição superior na hierarquia social, conforme nos diz LAGE (2008). Outro fator citado no texto de Nogueira & Nogueira, é a relação entre currículo e avaliação, onde ao sublimar que o saber escolar está associado à cultura dominante, Bourdieu abre portas para uma análise crítica do currículo. Dessa forma, encontramos no pensamento de Bourdieu a tese da estratificação dos saberes escolares, estabelecendo uma hierarquia entre as disciplinas, que vai das canônicas (mais valorizadas) até as disciplinas marginais (desvalorizadas), passando pelas disciplinas secundárias. Desse modo, a escola coloca no topo as disciplinas mais teóricas e abstratas, que exigem habilidades “não escolares”, que só podem ser plenamente adquiridas fora da escola; e rebaixa as disciplinas de natureza mais práticas, que podem ser dominadas a partir do esforço escolar. O trabalho de Bourdieu deixou também um legado crítico, importante, sobretudo porque desvelou a função social da avaliação, que se disfarça sob as aparências de sua função técnica. Nessa pesquisa foi formulada a tese de que a avaliação escolar representa, antes de tudo, um mecanismo de transformação da herança cultura em capital escolar. Assim, a avaliação iria mais além do que verificar a aprendizagem, constituindo-se na prática, num verdadeiro julgamento social, baseados implicitamente na maior ou distância do aluno em relação às atitudes e comportamentos valorizados pelas classes dominantes, reforçando a conservação social. Por último, a análise de Plínio Cavalcante e Manuela M. M. S. David, onde começam enfatizando que a matemática escolar ultrapassa as visões de Chevallar e de Chervel, pois o matemático trabalha com altos níveis de abstrações e generalidades, e já o professor de matemática trabalha dentro de um contexto educativo, com formas alternativas e acessíveis aos alunos. Baseado nisso, é citado Sfard (1991), que relaciona os aspectos operacionais e estruturais dos conceitos, o que, como visto acima, estão de acordo com Bourdieu, já que a escola valoriza os saberes mais abstratos, adquiridos fora da escola. Citando um artigo de Vinner (1991), o autor diz que a simples exposição do indivíduo à definição rigorosa não é suficiente para provocar uma re-organização ou reestruturação, pois “a definição cria um sério problema para o aprendizado da matemática.” Enfim, pode-se concluir que os argumentos de Bourdieu são endossados por diversos autores, acabando por comprovar que a escola é poderoso meio de conservação social.

BIBLIOGRAFIA

· Bourdieu, Pierre « Pour un mouvement social européen », Le Monde Diplomatique, juin 1999. · Bourdieu, Pierre « Analyse d'un passage à l'antenne », Le Monde Diplomatique, avril 1996. · CHERVEL, A. História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa. Teoria & Educação, n.2, p.177-229, 1990. · CHEVALLARD, Y. La Transposición Didáctica: del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires: Aique, 1991. · RIBEIRO, S. C. A Pedagogia da Repetência. Estudos Avançados, USP, v. 5, nº12, p. 7-18, 1991. · SILVA, N. V. Expansão escolar e estratificação educacional no Brasil. In: Hasenbalg, C. e Silva, N. V. Origens e destinos: desigualdades sociais ao longo da vida. Rio de Janeiro: Topbooks, p. 105-146, 2003.Lage, Gisele Carino. A mobilidade é possível num modelo de escola conservadora? Um estudo de caso etnográfico sobre o desempenho escolar e o acesso ao ensino

HISTÓRIA DA GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA

Por volta do ano 300 a.C., Euclides escreveu Os Elementos, um livro o qual é o mais famoso já escrito e o um dos de maior influência da história. Os Elementos são - a seguir à Bíblia - provavelmente, o livro mais reproduzido e estudado na história do mundo ocidental. Foi o texto mais influente de todos os tempos, tão marcante que os sucessores de Euclides o chamavam de "elementador". São raros os livros que têm sido tão editados, traduzidos e comentados como os Elementos de Euclides. Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Proclo (410 - 485), Herão (c. 10 - 75) e Simplício (490 - 560); na Idade-Média foi traduzida em latim e árabe; após a descoberta da imprensa, fizeram-se dela numerosas edições em todas as línguas européias. A primeira destas edições foi a de Campano (1220 - 1296), em latim, publicada em 1482, edição usada por Pedro Nunes (1502 - 1578), que a citou numerosas vezes nas suas obras. Euclides estabeleceu cinco postulados sobre o qual ele baseou todos seus teoremas: 1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une; 2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; 3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; 4. Todos os ângulos retos são iguais; 5. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos. É claro que o quinto postulado é diferente dos outros quatro. Não satisfesz Euclides, que tentou evitar todo o tempo possível seu uso - as primeiras 28 proposições de Os Elementos são provadas de fato sem usá-lo. Outros comentários, é que neste ponto Euclides, e muitos que vieram a seguir, assumiram que as linhas retas eram infinitas. Proclus (410-485) escreveu um comentário em Os Elementos onde comenta que foram feitas demonstrações para tentar para deduzir o quinto postulado dos outros quatro, em particular ele anota que Ptolemeu tinha produzido uma falsa ‘prova'. Entretanto deu o seguinte postulado que é equivalente ao quinto postulado: BIBLIOGRAFIA · Artigo: Os Elementos de Euclides. Site: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/elementoseuclides.htm · MacTutor History of Mathematics. Site: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html

Linguagem e Pensamento Algébrico

Segundo PESQUITA (2007), um assunto que tem levantado muita discussão é saber em que altura deve ser iniciado o pensamento algébrico. Por exemplo, Fiorentini e Miorim (1993) defendem que a linguagem algébrica é resultado de uma forma especial de pensamento, dado que, para expressar o pensamento algébrico existe uma linguagem possível e integrada historicamente na cultura de uma determinada comunidade de prática. Assim, o desenvolvimento do pensamento algébrico pode ocorrer desde os primeiros anos de escolaridade. Estes autores acrescentam que aquilo que ensinamos em Aritmética e a forma como a ensinamos tem fortes implicações para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Deste modo, é possível afirmar, como referem Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005), que, pedagogicamente, o pensamento algébrico pode ser desenvolvido gradualmente antes da existência de uma linguagem algébrica simbólica. Segundo ainda PESQUITA (2007), a evolução do pensamento algébrico vai desde a “fase pré-algébrica”, quando o aluno utiliza algum elemento considerado algébrico mas não o consegue conceber como número generalizado ou variável, passando pela “fase de transição”, quando o aluno aceita e concebe a existência de um número qualquer, estabelece alguns processos e generalização, podendo ou não utilizar a linguagem simbólica, terminando na fase em que alcança “um pensamento algébrico mais desenvolvido”, quando revela a capacidade de pensar e de usar variáveis, sendo capaz de expressá-las por escrito e de operar com elas. Os autores esclarecem que um “aluno pode atingir a terceira fase do pensamento algébrico, sem necessariamente fazer uso de uma linguagem estritamente algébrico-simbólica”. Agora, SCARLASSARI (2007), a primeira necessidade do ser humano foi a comunicação, que se deu na interação com o outro, nesse contato a linguagem exerceu um papel fundamental. Segundo Vygostky (2003, p. 70), “a língua é o instrumento do pensamento”. A linguagem começa a ser desenvolvida pela imitação e aos poucos vai tomando a forma da linguagem usual. Depois de adquirida essa habilidade, a comunicação se torna natural e passa a ser realizada sem muito esforço. “No processo de internalização da atividade há a mediação da linguagem, em que os signos adquirem significado e sentido” (VYGOTSKY, 1984, p. 59). Considerando esses pressupostos teóricos, percebemos que a linguagem matemática, da mesma forma, deveria ser inserida no dia-a-dia do aluno e de maneira gradativa, para que este pudesse, aos poucos, ir conhecendo os símbolos e a operacionalidade presente entre eles. A linguagem Matemática não é natural ao aluno, portanto necessita de ser desenvolvida por meio de um ensino. Os símbolos matemáticos, também, são meios de comunicação, mas não para a comunicação que nos move no dia-a-dia. O desenvolvimento do pensamento e a abordagem das linguagens retórica e sincopada podem permitir ao aluno desenvolver significados, mais próximos do seu entendimento, de movimentos quantitativos do que apenas ter que relacioná-los, muitas vezes com apelo à memória, ou à linguagem simbólica formal. A aprendizagem centrada no formalismo da linguagem algébrica é apontada por vários autores como Neves, (1995), Booth (1995), Scarlassari (2001), entre outros, como um dos fatores incidentes nas dificuldades e nos erros apresentados pelos alunos. A questão da linguagem é recorrente nas pesquisas e nas experiências de sala de aula, e o que se pretende é estudar aspectos da interferência da linguagem algébrica na aprendizagem. A matemática é uma ciência que usa sistemas de signos criados pelo homem para melhor entender a sociedade onde se vive e para suprir suas necessidades. O uso de signos, segundo Vygotsky (2003, p. 54), “conduz os seres humanos a uma estrutura específica do comportamento que se destaca do desenvolvimento biológico e cria novas formas de processos psicológicos enraizados na cultura”. No que diz respeito à atividade de utilização desses signos, o mesmo autor diz que a mesma “não é inventada e tampouco ensinada pelos adultos; ao invés disso, ela surge de algo que originalmente não é uma operação com signos, tornando-se uma operação desse tipo após uma série de transformações qualitativas” (ibidem, 2003, p. 60). Segundo SCARLASSARI (2007), o mesmo pode se dizer para a álgebra. Na história isso também aconteceu com a linguagem algébrica, que passou por essas transformações qualitativas, as quais pensamos que devem estar presente no ensino da álgebra, possibilitando que o aluno identifique os movimentos quantitativos de seu entorno e os expresse em linguagem natural para posteriormente transpor esses significados para os símbolos formais. Uma maneira de se trabalhar essas transformações seria passar pelos três tipos de linguagem (retórica, sincopada e simbólica) propostos por Smith (1958), Boyer (1968) e Eves (2004). Para que as aulas de matemática sofram as mudanças necessárias para uma aprendizagem significativa, [...] é preciso que se contemple além dos aspectos formais, a construção do pensamento algébrico, pois não se pode utilizar uma nova linguagem sem que lhe seja dado sentido, sem que não se sinta a necessidade de sua utilização. Deve-se entender que a linguagem é, pelo menos a princípio, a expressão de um pensamento. O pensar algébrico ainda não faz parte de muitos processos de aprendizagem que ocorrem na escola; sendo assim, pode-se afirmar que a álgebra perde seu valor como um rico instrumento para o desenvolvimento de um raciocínio mais abrangente e dinâmico (ARAÚJO, 2007, p. 8). O conhecimento algébrico é produzido a partir de conhecimentos já existentes, é um produto cultural e social no qual o aluno sente interesse em ampliar e aprofundar o que já sabe. A respeito do pensamento algébrico, Sousa (2004, p.172) parte do pressuposto de que o mesmo “é construído a partir das premissas. Essas premissas são históricas porque contém os conceitos de número, variável e campo de variação”. Para a mesma autora, “a compreensão do que venham a ser as premissas é o fundamental para iniciarmos a alfabetização matemática de nossos estudantes no que diz respeito ao pensamento algébrico” (ibidem, p. 176). Isso nos fornece mais elementos para sustentar a idéia de movimento e variação presente na álgebra e que nem sempre é explorada pelos professores. O pensamento algébrico pode se originar a partir da aritmética. Segundo Lins e Gimenez (2005, p. 150) “Pensar algebricamente é produzir significado para situações em termos de números e operações aritméticas (e igualdades e desigualdades), e com base nisso transformar as expressões obtidas” produzindo significados. Considerando esse ponto de vista, o pensamento algébrico começa a ser desenvolvido quando novas questões são colocadas a partir de expressões numéricas, até então trabalhadas na aritmética. Podemos observar que isso ocorre quando se introduz numa expressão numérica uma incógnita, ou seja, um valor desconhecido. Neste momento, além do novo elemento “letra” na expressão, o sinal de = passa a ser concebido como uma idéia de equivalência, deixando de lado seu caráter de apenas indicar o resultado das operações realizadas. Um outro aspecto, segundo SCARLASSARI (2007), que dificulta a compreensão algébrica é a idéia de generalização. Para Davidov (1988, p.101), “a generalização se caracteriza como via fundamental para a formação de conceitos escolares”. É a experiência concreta cotidiana que desperta o aluno para as abstrações aritméticas. É enquanto a criança vive de imagens e impressões concretas que sistematiza e generaliza sua experiência sensorial e forma os primeiros conceitos aritméticos. Com isso, vemos que o pensamento algébrico envolve abstração, criação, entendimento da operacionalidade presente na aritmética, noção de equivalência, de movimento, de variação, entre outras coisas. Assim, o aluno precisa ser orientado a trabalhar com essas idéias, ele não consegue construir esse tipo de pensamento por si só porque não é algo inato. Assim, a análise da natureza do pensamento algébrico permite uma melhor compreensão dos motivos pelos quais os alunos apresentam tantas dificuldades para aprender álgebra. Ela pode ser trabalhada e construída a partir de diferentes pontos de vista. Na sala de aula, na maioria das vezes, o professor aborda apenas um aspecto do pensamento deixando os outros de lado, a aprendizagem, dessa forma, fica sem sentido e fragmentada.

Erros e Dificuldades em Álgebra

Segundo Schoen (1995, p.137), “quando o aluno tem o contato formal com a álgebra ele já têm muitas crenças e preconceitos sobre ela, sobre problemas e conceitos do mundo real descritos nos mesmos.” E mesmo os alunos que têm um conhecimento dos conceitos e habilidades algébricas e geométricas básicas, não conseguem aplicá-los na resolução de problemas. A autora Kieran (1992) atenta para o fato de que para superar essa falta de entendimento, os alunos recorrem à memorização de regras e procedimentos e acreditam que essa é a essência da álgebra, o que pode ser observado até no mini-curso realizado na UFSCar, onde tentei corrigir tal coisa ao enfatizar o processo e não o resultado e a fórmula. Na aritmética, por sua vez, o aluno aprende que as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão são resultados de ações realizadas com dois números que tem como resultado um terceiro número. Quando os alunos são iniciados no trabalho com a álgebra, isso pode levar a uma interpretação de sentenças do tipo 5 + x, que tendem a ser interpretadas como um valor numérico (5 + x = 10 porque o aluno considera x = 5, por exemplo), (MAZA, 1993). Outro erro muito comum, segundo SCARLASSARI (2007), que se repete, em parte à aritmética, cometido pelos alunos foi ao traduzir, por exemplo, “A metade de um número é igual a este número menos quatro unidades.” para “2/x = x – 4” ou “2x: = x – 4”, por exemplo. Quando questionados com relação às suas respostas, os alunos as julgavam corretas, pois afirmavam que “metade vem escrito primeiro” e é a expressão que está relacionada com o número 2. Esses tipos de erros passam a significar dificuldades, pois ao tentar corrigi-los recaem nos mesmos erros ou em outros semelhantes, o que vai convencendo o aluno de que ele tem “dificuldades” em álgebra. Segundo PESQUITA (2007), a interpretação da Álgebra no sentido de Aritmética generalizada implica que se usem letras em vez de números na escrita de expressões gerais que representam regras aritméticas ou expressões dadas. Neste sentido, SOCAS et al. (1996) referem um conjunto de erros que podem ser atribuídos a diversas causas: a) A natureza e o significado dos símbolos e das letras. b) O objetivo da atividade e a natureza das respostas em Álgebra. c) A compreensão da Aritmética por parte dos alunos. d) O uso inapropriado de fórmulas ou regras de procedimentos. Booth (1988) debruça-se sobre a questão de saber porque é que a Álgebra é difícil de aprender. Deste modo realiza um estudo com alunos entre os 13 e 16 anos no sentido descobrir o que torna a Álgebra tão difícil, recorrendo à identificação do tipo de erros mais usualmente cometidos e à investigação da razão desses erros. Apesar de existirem alunos de diferentes idades e conseqüentemente em níveis de escolaridade diferentes, existiram erros bastante similares. O estudo debruçou-se sobre quatro temas: 1. O foco da atividade algébrica e a natureza das respostas. 2. O uso da notação e de convenções em Álgebra. 3. Significado das letras e variáveis. 4. O tipo de relações e métodos utilizados em Aritmética.

A álgebra trabalhada na sala de aula

O que se observa na maioria dos livros didáticos é uma abordagem da álgebra através da geometria, apenas para visualizar o que acontece nas expressões algébricas, mas não se preocupam com a construção da linguagem e com os conceitos envolvidos, provocando, segundo Lins e Gimenez (2005, p. 121) uma “ruptura, e não ‘abstração’ ou ‘passagem’” como imagina a maioria dos professores. A partir da década de 90, começa a aparecer nas aulas de matemática uma relação entre álgebra simbólica e geométrica, tendo como base as Propostas Curriculares, porém essas Propostas não deixam claro que o proposto consiste numa adaptação grosseira da álgebra de Euclides para o qual a variável é o segmento e não a letra. Isso parece confundir o pensamento dos alunos. Aqui cabe algumas observações, pois o enfoque da regência foi o trinômio do quadrado perfeito, onde tentei dar um enfoque à historia da matemática como fator de motivação, já que segundo MENDES, FOSSA, VALDÉS (2006), permitirá deixar patente a origem das idéias matemáticas, especialmente ao tentar sanar este problema de ruptura e abstração, tentando fazer relação entre a parte geométrica e a algébrica. As propostas curriculares estão diretamente relacionadas com a prática e o conteúdo trabalhado pelos professores em sala de aula, são elas que dão as diretrizes para que o professor se oriente durante o exercício docente. Porém, de acordo com Sousa (2004), a maioria das propostas curriculares é elaborada sem a participação dos professores, o que os torna passivos em relação aos conteúdos e os modos de trabalhar. Como conseqüência, a álgebra é trabalhada como algo imóvel, sem relação com a vida social do aluno, sem relação com os movimentos vivenciados no cotidiano, como se não fizesse parte da história da matemática, ou seja, com uma abordagem tradicional e distante. Em conseqüência dessa abordagem, a álgebra tem sido estudada como se fosse apenas a aritmética generalizada, centrada em regras, algo que possui um caráter instrumental, útil apenas para resolver equações e problemas. Assim, são muitos os aspectos que compõem a álgebra e que precisam de atenção especial por parte dos educadores. O que acontece com freqüência nas salas de aula, é um trabalho com atividades que não permitem que o aluno desenvolva uma idéia ampla dos conceitos algébricos, possibilitando apenas o uso da operacionalidade presente na linguagem algébrica, se o aluno tiver uma boa compreensão da aritmética. A linguagem simbólica específica da álgebra não é tão natural para o aluno quanto a numérica, que é utilizada no cotidiano e, portanto, precisa de atenção especial em sala de aula desde as séries iniciais para que os alunos entendam o seu sentido e a necessidade de sua utilização. Todas essas abordagens do ensino de álgebra mostram a complexidade dos conceitos algébricos e se entende que para que o aluno seja demovido das dificuldades algébricas que ele acaba levando consigo por todo o seu processo escolar, é preciso que incorpore essa complexidade na sua abordagem. Algumas pesquisas mostram que o ensino restrito a um aspecto da álgebra, impede a compreensão ampla e profunda desta área do conhecimento matemático. Esse estudo pretende colocar em comparação as dificuldades decorrentes das duas abordagens diferentes, com o intuito de desvendar esse problema. Uma abordagem tradicional contraposta à abordagem que abrange mais aspectos da álgebra. Atualmente, nas séries finais do Ensino Fundamental, no caso as 7ª e 8ª séries, a álgebra ainda é abordada de forma mecânica e repetitiva sem proporcionar reflexões e discussões entre os alunos. Pelas observações e trabalhos nas tutorias em sala de aula, esta abordagem está claramente exposta, onde impera o decorar e nunca o entender o porque, e muito menos relação com a vida da aluno. Segundo Neves (1995), muitos alunos e professores acreditam que a álgebra existe apenas dentro da sala de aula, nas atividades escolares e aprendê-la significa lidar com verdades já estabelecidas. Desse modo, a álgebra tem pouco ou quase nenhum significado para a maioria dos alunos que não vislumbram sua amplitude, o que mostra a dificuldade e rejeição sobre a parte da algébrica da matemática nestas séries. Podemos citar o artigo de Araújo (2006), onde ele diz que o que acontece na maioria das salas de aula “é encontrar alunos que se frustram e não conseguem ter um desempenho satisfatório nas aulas de Matemática, pois muitas vezes não vêem sentido na sua aprendizagem”. Quando são trabalhados problemas interessantes, que podem despertar o interesse dos alunos ou aproximam-se do seu cotidiano, muitas vezes não é dada continuidade ao trabalho, opta-se por uma lista de exercícios repetitivos. Em Lanner e Scarlassari (2001), verificamos a pertinência dessa observação feita por Araújo (2006) no que diz respeito à aprendizagem da álgebra centrada na manipulação de expressões simbólicas. Essas dificuldades são provenientes de um ensino que privilegia a repetição de conceitos, a aplicação de fórmulas prontas que o aluno decora sem entender, de um trabalho que privilegia uma avaliação escrita no final do processo de aprendizagem e não uma avaliação contínua durante todo o processo de aprendizagem, e não permite que o aluno crie e desenvolva seus próprios conceitos sobre os temas estudados. As dificuldades apresentadas pelos alunos são localizadas em cada nexo que compõe o conceito. Esta relação de dificuldades e desenvolvimento do nexo conceitual nos permite trazer as categorias que têm um caráter de emergência porque são indicadas pelas dificuldades dos alunos ao desenvolverem os nexos conceituais. Essas categorias são: 1) Tradução Literal; 2) Variável; 3) Operacionalidade; 4) Unidade; 5) Linguagem; 6) Campo de Variação. Inferimos que o ensino que se restringe a um ou outro aspecto da álgebra é gerador de dificuldades, do mesmo modo, um ensino que abrange os nexos conceituais da álgebra, também gera dificuldades, porém pode proporcionar melhor compreensão dos conceitos, diferente do que ocorre no caso anterior.

REFLEXÃO: A ORIGEM DA ÁLGEBRA

Começarmos por um conceito importante para toda esta reflexão, que é o de fluência, ou seja, Lima (1993) e Sousa (2004), fundamentados em Caraça (1984), entendem que “a fluência se preocupa com a mobilidade do pensamento enquanto que a metafísica se preocupa com a imutabilidade”. O nexo da fluência diz respeito ao movimento da vida – nas palavras do filósofo Heráclito de Éfeso: “O mundo está em permanente evolução; todas as coisas a todo o momento se transformam, tudo flui, tudo devém” (CARAÇA, 1984, p. 110). Tal conceito relaciona-se com um segundo e relevante nexo de análise, a variável, definida por Sousa (p.82, 2004) como “a fluência, o próprio movimento, o fluxo do pensamento”, e completando, podemos dizer que só há sentido falar em variável, se considerarmos um determinado campo numérico, ou seja, ela está associada a um campo de variação. É este campo que define, dentro de um conjunto numérico, as possibilidades de valores que a variável pode assumir. Ademais, para Caraça (1984, p. 127), a variável pode ser definida como um símbolo “representativo de qualquer dos elementos” de um conjunto qualquer de números. Logo, a variável é a fluência, o movimento limitado dentro de um campo de variação que dá qualidade à mesma e indica, segundo Sousa (2004, p. 103), “uma certa movimentação numérica, impossível de ser representada pelo numeral aritmético”. Na álgebra simbólica, ela pode ser representada por qualquer letra do alfabeto e pode aparecer de três formas: como parâmetro, incógnita (que é a mais utilizada nas salas de aula) e como variável propriamente dita As variáveis podem ser compreendidas como símbolos representativos de campos numéricos determinados (CARAÇA, 1984). Assim, todas as propriedades e operações válidas na aritmética, são também válidas na álgebra. As propriedades fundamentais da adição e da multiplicação – pertencentes à aritmética – são a de Fechamento, a Comutativa, a Associativa, o Elemento Neutro e a propriedade Distributiva da multiplicação com relação à adição, além dessas, temos as propriedades Simétrica, Transitiva e Reflexiva da igualdade. Tais propriedades, abordadas no Ensino Fundamental, se não forem bem trabalhadas durante o desenvolvimento educacional do aluno, quando o mesmo necessitar operar com a linguagem simbólica da álgebra, provavelmente, apresentará dificuldades, pois não entenderá a letra – símbolo – como representativa de um número, no entanto apenas a associará às palavras escritas nos enunciados, e conseqüentemente será conduzido a uma tradução literal. São as propriedades e as operações realizadas na álgebra e na aritmética que estamos chamando de operacionalidade. Smith (1958) nos diz que precisamos definir o que entendemos por álgebra, para demarcar o seu surgimento. Se a considerarmos como uma ciência que nos permite resolver equações, expressas por símbolos (ax2 + bx + c = 0), então, sua história começa no século XVII. Se não formos tão rigorosos e considerarmos “símbolos menos convenientes”, podemos dizer que a álgebra começou a existir no século III d.C.. Por outro lado, se entendermos que a solução da equação ax2 + bx + c = 0 é por métodos geométricos, sem símbolos algébricos, e que faz parte da álgebra, a história da disciplina teria começado com a Escola de Alexandria, ou um pouco antes. E ainda, se considerarmos a álgebra como qualquer problema que agora nós resolveríamos por álgebra, mesmo que primeiramente fosse resolvido por adivinhação ou por algum processo aritmético complicado, então esta ciência ficara conhecida por volta de 1.800 a.C. ou provavelmente até antes disso. Para sabermos de modo mais exato quando teve início esta forma matemática é importante explicarmos o que é entendido por álgebra, pois se percebe que não há ao longo de sua história de formação uma regularidade de definição e conteúdo, o que há nos parece apenas uma tendência.

A experiência da Aplicação da Primeira Prova

NARRATIVA: A experiência da Aplicação da Primeira Prova Nesse fim de semana eu corrigi as primeiras provas como professor, depois poder dar o conteúdo de trigonometria no triângulo retângulo para uma turma do primeiro ano do ensino médio. Aqui existe todo um simbolismo de passagem de etapa na minha vida, e de todo o estudante no meu lugar, onde estou passando de aluno a professor, terminando os estágios de formação como docente e começando a atuar numa sala de aula. Voltemos aos acontecimentos dos últimos dias de estágio... Apliquei uma prova na quinta-feira e outra na sexta-feira, sendo do primeiro G e D, respectivamente. A segunda turma ficou sob minha responsabilidade a correção. Durante a aplicação das provas, dava para ver a tensão nas faces daqueles adolescentes, mesmo sendo estudantes e fazerem provas há pelo menos oito anos, para muitos parecia à primeira prova, com todo o peso e responsabilidade de uma prova de matemática. De cara deu para ver que alguns não deram muito bem, e entregaram e prova em branco e outros mal mexeram nas questões. Naquele momento fiquei imaginando meus momentos de tensão e de frustrações nas provas. Naquela época, ou até recentemente, ficava indignado por ter estudado, ter feito as listas de exercícios, participado da aula, e na hora da prova não conseguir fazer nada... Depois soube que ali tinham muitos fatores externos que influenciaram como depressão profunda, ansiedade crônica, noites mal dormidas por causa da insônia e outras enfermidades de teor espiritual. Ou seja, tudo acontecia menos às notas, e o pior era que qualquer professor considerava as notas baixas como não-estudo ou ser um péssimo aluno. Lembrei da única vez na minha vida que tinha tirado zero numa prova, fora de Geometria Diferencial, após intenso estudo, mas fui taxado incompetente, de medíocre, de péssimo aluno, mas o então professor, mesmo sabendo de tudo, não exitou em me julgar e condenar. Estava sob afastamento psiquiátrico, mas fui obrigado a fazer a prova. Agora, vendo aqueles alunos ali fazendo provas, e ter ouvido antes, tanto no início do estágio, como na véspera da prova que, aqueles alunos eram os piores da escola, que não interessasse o que fizéssemos que aqueles alunos não tivessem “solução” e as notas seriam péssimas. Agora após o final das correções das provas, as notas foram péssimas, mas o fato de aprendizado por parte de alguns alunos, não tem preço, e valeu à pena. Tudo isso não impede que procure refletir sobre minha pratica pedagógica, já que teve 83% de notas abaixo da média, sendo que 24% de notas “zero”, e apenas 17% de acima da média. Se fosse eu como aluno, e ainda cometo tal atitude, chamaria um professor desses de carrasco, e de muitos adjetivos negativos, mas e agora, como sou eu e não outro, não devo fazer com que a professora do estagio faz sempre, em que a culpa é sempre e somente dos alunos. É necessário fazer uma dura reflexão sobre a minha prática pedagógica e procurar onde errei e porque errei e como melhorar. Outra reflexão que agora posso fazer é em relação à validade de provas como único meio de avaliação da aprendizagem, depois de uma bela bagagem de estudo de artigos, dissertações e teses de Educação Matemática e até de psicologia. Agora posso questionar: será que não estou repetindo os mesmos erros dos meus professores, ao repetir a padrão de massacre das provas? Pude observar que alunos que conseguiram resolver exercícios em sala de aula, e claramente mostravam aprendizado significativo, ficaram com notas baixas, podem ser considerados como um indício que se eu fosse professor dessa turma, agora seria o momento e ouvir por parte deles alguns pontos que eles considerassem errados. Acho fácil chegar ao conselho de classe e falar que o único culpado é o aluno, e enumerar os alunos incorrigíveis, que iriam ser enviados para conversar com a coordenação pedagógica. Por tudo, em cima de minhas narrativas reflexivas, o obvio: “Crescer é doloroso, além de difícil, mas necessário. Creio que a ensino no Brasil só pode melhorar com o esforço de cada um, através de uma bela formação continuada, de muitas leituras, e produto de reflexões sobre suas práticas pedagógicas de modo continuo.

Evolução Histórica da Trigonometria

Evolução Histórica da Trigonometria Ailton Barcelos da Costa1 A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322. Para considerar a gênese, devemos discutir qual o significado que daremos ao termo Trigonometria. Se o tomarmos como a ciência analítica estudada atualmente, teremos a origem no século XVII, após o desenvolvimento do simbolismo algébrico. Mas, se o considerarmos para significar a geometria acoplada à Astronomia, as origens remontarão aos trabalhos de Hiparco, no século II a.C., embora existam traços anteriores de seu uso. Se o considerarmos, ainda, para significar literalmente medidas do triângulo, a origem será no segundo ou terceiro milênio antes de Cristo. Então, podemos dizer que os primeiros indícios de rudimentos de trigonometria surgiram tanto no Egito quanto na Babilônia, a partir do cálculo de razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes. No Egito, isto pode ser observado no Papiro Ahmes, conhecido como Papiro Rhind, que data de aproximadamente 1650 a.C., e contém 84 problemas, dos quais quatro fazem menção ao seqt de um ângulo. Ahmes não foi claro ao expressar o significado desta palavra mas, pelo contexto, pensa-se que o seqt de uma pirâmide regular seja equivalente, hoje, à cotangente de um ângulo. Na construção das pirâmides era essencial manter uma inclinação constante das faces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt, que representava a razão entre afastamento horizontal e elevação vertical. Além da utilização da trigonometria nas medições das pirâmides, apareceu no Egito (1500 a.C. aproximadamente) a idéia de associar sombras projetadas por uma vara vertical a seqüências numéricas, relacionando seus comprimentos com horas do dia (relógios de sol). Poderíamos dizer então que essas idéias estavam anunciando a chegada, séculos depois, das funções tangente e cotangente. Os predecessores da tangente e da cotangente, no entanto, surgiram de modestas necessidades de medição de alturas e distâncias. Como já mencionamos, os primeiros vestígios de trigonometria surgiram não só no Egito, mas também na Babilônia. Os babilônios tinham grande interesse pela Astronomia, tanto por razões religiosas, quanto pelas conexões com o calendário e as épocas de plantio. É impossível o estudo das fases da Lua, os pontos cardeais e as estações do ano sem usar triângulos, um sistema de unidades de medidas e uma escala. Os babilônios foram excelentes astrônomos e influenciaram os povos posteriores. Eles construíram no século 28 a.C., durante o reinado de Sargon, um calendário astrológico e elaboraram, a partir do ano 747 a.C, uma tábua de eclipses lunares. Uma trigonometria primitiva foi encontrada no Oriente. Na China, no reinado de Chóu-pei Suan-king, aproximadamente 1110 a.C., os triângulos retângulos eram freqüentemente usados para medir distâncias, comprimentos e profundidades. Existem evidências tanto do conhecimento das relações trigonométricas quanto do conceito de ângulo e a forma de medi-lo mas, infelizmente não temos registro de como eram feitas as medições e quais as unidades de medida usadas. Na literatura chinesa, segundo COSTA (s/d) entramos uma certa passagem que podemos traduzir por: "O conhecimento vem da sombra, e a sombra vem do gnômon", o que mostra que a trigonometria plana primitiva já era conhecida na China no segundo milênio a.C Também na China, em 152 a. C., há indícios que Chuan Tsanom sistematizou todo o conhecimento matemático conhecido na coleção "A Matemática em Nove Livros", a qual foi modificada mais tarde no século I d. C. por Lin Sing, onde já se usava o π = 3,1547, obtido de maneira semelhante a que Arquimedes (287 – 212 a. C.) conseguiu na Grécia. Ainda na China Antiga, no século III d. C, Lin Hui, fazia aplicações do teorema de Pitágoras. A primeira amostra documentada de contribuição grega para o estudo da trigonometria apareceu por volta de 180 a.C. quando Hipsícles, influenciado pela cultura babilônica, dividiu o zodíaco em 360 partes. Essa idéia foi posteriormente generalizada por Hiparco para qualquer círculo (Eves, 1995). O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria", pois na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As principais contribuições à Astronomia, atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes astronômicas importantes - duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclíptica - e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios. Assim, podemos dizer que na Grécia, durante os dois séculos e meio compreendidos entre Hipócrates e Eratóstenes, a trigonometria esteve engatinhando, o que nos leva a concordar com a afirmativa de BOYER (1974, p. 118): "De Hipócrates a Eratóstenes os gregos estudaram as relações entre retas e círculos e as aplicaram na Astronomia, mas disso não resultou uma trigonometria sistemática". A "Trigonometria" era então baseada no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda. Hiparco escreve a respeito do cálculo de comprimentos das cordas. Apesar da corda de um arco não ser o seno, uma vez conhecido o valor do seu comprimento, pode-se calcular o seno da metade do arco, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é justamente esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o comprimento da corda subtendida por um ângulo x é . A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno do complemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias. Outro matemático grego, Menelau de Alexandria, por volta de 100 d.C., produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica , em três livros, se preservou numa versão árabe e é o trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica. Entretanto, a mais influente e significativa obra trigonométrica da Antigüidade foi a Syntaxis mathematica, obra escrita por Ptolomeu de Alexandria que contém 13 livros. Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foi associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram de Almajesto, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome. Posteriormente, surgiu a necessidade de uma nova unidade de medida para os ângulos. Foi quando surgiu o radiano, denominado radian, pois os estudiosos discutiam uma "expressão" do ângulo em termos de , que primeiramente foi chamada " -medida", "circular" ou "medida arcual". Nenhum autor explica por que fizeram uso dessa unidade, mas o seu uso simplificou várias fórmulas matemáticas e físicas. Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais importante fonte de consulta para os astrônomos de todo o mundo. Porém no século VIII é que os cientistas voltariam a sua atenção para as obras trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundo com sua Matemática original e criativa, os Hindus. Sobre a trigonometria na Índia, entre os séculos VIII – VII a. C, onde temos dois mais antigos monumentos da cultura matemática dos hindus, os livros religiosos Sutras e Vedas, escritos em Sânscrito. Neles encontramos, de acordo com RIBNIKOV (1987), construções geométricas que constituem parte importante da parte dos rituais na construção de obras para o culto, como templos e altares. Neles podemos encontrar os primeiros métodos da quadratura de círculos e aplicações do teorema de Pitágoras. Assim, no século IV da nossa era, a Europa Ocidental entrou em crise com as invasões dos bárbaros germânicos e com a queda do Império Romano. O centro da cultura começou a se deslocar para a Índia, que revolucionou a trigonometria com um conjunto de textos denominados Siddhanta, que significa sistemas de Astronomia. O que chegou até nós foi o Surya Siddhanta, que quer dizer Sistemas do Sol e é um texto épico, de aproximadamente 400 d.C, escrito em versos e em sânscrito. Os hindus diziam que o autor do texto foi Surya, o deus do Sol. Esta obra contém poucas explicações e nenhuma prova pois, afinal, tendo sido escrita por um Deus, seria muita pretensão exigir provas. (Boyer, 1974). A importância do Surya, para nós, é que ele abriu novas perspectivas para a Trigonometria por não seguir o mesmo caminho de Ptolomeu, que relacionava as cordas de um círculo com os ângulos centrais correspondentes. Nas aplicações da .função. corda, na Astronomia, era necessário dobrar o arco antes de usá-lo na tábua de cordas. Naturalmente, era mais conveniente ter uma tábua na qual o próprio arco fosse a variável independente. No Surya, a relação usada era entre a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente, chamada por eles de jiva. Isto possibilitou a visão de um triângulo retângulo na circunferência. Por volta de 500 d.C., o matemático hindu Aryabhata já calculava semi cordas e usava também o sistema decimal, desenvolvido aproximadamente em 600 d.C. Ao surgirem, os numerais hindus continham nove símbolos e não havia símbolo para o zero. Quando os hindus introduziram os conceitos de semi corda e de seno, demonstraram algumas identidades, e encontramos em Varahamihira, no ano 505 d.C., o equivalente verbal de (sen x)2 + (cos x)2 = 1. O primeiro aparecimento real do seno de um ângulo se deu no trabalho dos hindus. Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metade de cordas que agora realmente são tabelas de senos e usou jiva no lugar de seno. Esta mesma tabela foi reproduzida no trabalho de Brahmagupta, em 628, e um método detalhado para construir uma tabela de senos para qualquer ângulo foi dado por Bhaskara em 1150. Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e a Trigonometria de jiva - de origem hindu - o conflito chegou ao final quando, entre 850 e 929, o matemático árabe al-Battani adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário - surgiu o nome da função seno. Após os hindus, foram os árabes e os persas a dar sua contribuição à trigonometria. O Império Muçulmano ou Árabe, além da expansão econômica, viveu extraordinário avanço nos diversos campos das artes e da ciência do fim do século VIII até o século XI, com destaque ao século IX. A expansão do saber muçulmano deveu-se, sobretudo, à difusão da língua árabe, que substituiu o grego na condição de língua internacional. O emprego do árabe permitiu a fixação e a preservação de obras antigas, que foram traduzidas e assim difundidas entre os intelectuais muçulmanos. Podemos dizer que a influência árabe começou com a fundação da Escola de Bagdad, no século IX, e um dos seus maiores expoentes foi o príncipe da Síria Mohamed-ben-Geber, conhecido como AL Battani (aproximadamente 850 a 929 d.C.), ou Albategnius, nas traduções latinas, chamado o Ptolomeu de Bagdad. Os estudos de AL Battani ficaram entre o Almagesto e Siddhanta e foi por sua influência que a trigonometria hindu foi adotada pelos árabes, principalmente a partir de sua genial idéia de introduzir o círculo de raio unitário e com isso demonstrar que a razão jiva é válida para qualquer triângulo retângulo, independentemente do valor da medida da hipotenusa. Depois de Al-Battani, digno de nota entre os matemáticos árabes foi Abu'l Wafa que, em 980, iniciou uma organização, uma sistematização de provas e teoremas de trigonometria. Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu'l Wafa sabia que sen2x = senx. Cosx, embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu sem(x+y)=senx.cosy+seny.cosx, fazendo x = y. De acordo com STRUIK (1992), quando a Escola de Bagdad entrou em declínio, o centro das atividades intelectuais deslocou-se para o sul da Europa, na Península Ibérica, e com ele o estudo da trigonometria, particularmente nos triângulos esféricos necessários aos estudos astronômicos. A cidade de Toledo tornou-se o mais importante centro da cultura, a partir de 1085, quando foi libertada pelos cristãos do domínio mouro. Isto ocorreu porque para ela afluíram os estudiosos ocidentais, visando a adquirir o saber muçulmano. O século XII na História da Matemática foi, então, um século de tradutores dos quais citamos Platão de Tivoli, Gerardo de Cremona, Adelardo de Bath e Robert de Chester. Com isso, a Europa teve acesso à matemática árabe e à herança grega que havia sido conservada, na medida do possível, por eles. A palavra hindu jiva - meia corda, dada ao seno foi traduzida para o árabe que chamou o seno de jiba, uma palavra que tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno. O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os autores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram jaib na palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do termo sinus rectus arcus rapidamente encorajou o uso universal de seno. Uma justificativa para esse erro de tradução seria o fato de que em árabe, como em hebraico, é freqüente escrever-se apenas as consoantes das palavras, cabendo ao leitor a colocação das vogais. Além de jiba e jaib terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito. Diversos dos astrônomos árabes se deslocaram para a Espanha para trabalhar e passaram a difundir o saber. Os mais importantes escritores foram os astrônomos Ibrâhîm ibn Yahyâ al Naqqâsh, (conhecido como Abû Ishâq ou Ibn al-Zarqâla ou, nas traduções latinas como Arzachel, e que viveu em Córdoba) autor de um conjunto de tábuas trigonométricas em 1050, e Jabir ibn Aflah (conhecido como Jeber ibn Aphla, tendo vivido em Sevilha), cujos estudos astronômicos de 1145 se mostraram tão interessantes que, séculos mais tarde (1543), foram publicados em Nuremberg. O matemático europeu mais habilidoso do século XIII foi Fibonacci (1170-1250). Ele estudou no norte da África e depois viajou pelo Oriente como mercador, com isso sofreu grande influência dos árabes. Sua obra Practica Geometriae, de 1220, é uma aplicação da trigonometria árabe na Agrimensura. Paralelamente ao desenvolvimento da trigonometria, que já vinha ocorrendo na Europa desde o século XI com a retomada do conhecimento árabe, ocorreu o desenvolvimento das funções. Neste campo surgiu Nicole Oresme (1323 – 1382) com seu Treatise on theconfiguration of Qualities and Motions., no qual introduziu a representação gráfica que explicita a noção de funcionalidade entre variáveis (no caso velocidade por tempo). Seu trabalho influenciou Galileu (1564-1642) e Descartes (1596-1650) nos séculos XVI e XVII. Com os estudos de Oresme, começou a se consolidar o conceito de função. No século XIV, Purbach, na Inglaterra, retomou a obra de Ptolomeu e computou uma nova tábua de senos, muito difundida entre os estudiosos europeus. Purbach foi o mestre de Regiomontanus (1436-1475), um dos maiores matemáticos do século XV, cujo trabalho teve grande importância, estabelecendo a Trigonometria como uma ciência independente da Astronomia. Regiomontanus escreveu um Tratado sobre triângulos., em cinco livros, contendo uma trigonometria completa. A invenção posterior dos logaritmos e alguns dos teoremas demonstrados por Napier (1550-1617) mostram que a Trigonometria de Regiomontanus não diferia basicamente da que se faz hoje em dia. No .Tratado. ele calculou novas tábuas trigonométricas, aperfeiçoando a de senos de Purbach, e introduziu na trigonometria européia o uso das tangentes, incluindo-as em suas tábuas. Podemos dizer que foi ele quem lançou as fundações para os futuros trabalhos na trigonometria plana e esférica. Copérnico (1473-1543) também contribuiu ao completar, em 1520, alguns trabalhos de Regiomontanus, que incluiu em um capítulo de seu De Lateribus et Angulis Triangulorum., publicado separadamente por seu discípulo Rhaeticus em 1542, e este também produziu tabelas importantes de senos e cossenos que foram publicadas após a sua morte. O primeiro trabalho impresso em trigonometria provavelmente foi a Tabula Directionum de Regiomontanus, publicado em Nuremberg certamente antes de 1485, pois a segunda edição data deste ano, em Veneza. As seis funções trigonométricas foram definidas como funções do ângulo, em vez de funções do arco, e subentendidas como razões, pela primeira vez, no .Canon DoctrinaeTtriangulorum. De Joachim Rhaeticus em Leipzig, 1551, embora ele não tenha dado nomes para seno, cosseno ou cossecante, exceto perpendiculum, basis e hypotenusa. O termo seno certamente não foi aceito imediatamente como a notação padrão por todos os autores em tempos, quando a notação matemática era por si mesma uma nova idéia, muitos usaram a sua própria notação. Edmund Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sen em 1624 em um desenho. O primeiro uso de sen em um livro foi em 1634 pelo matemático francês Hérigone, enquanto Cavalieri usava Si e Oughtreds. Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz respeito ao desenvolvimento da notação. Viète usou o termo sinus residuae para o cosseno, Gunter em 1620, sugeriu co-sinus. A próxima figura notável na trigonometria foi Pitiscus que publicou um tratado, em 1595, no qual corrigiu as tábuas de Rhaeticus e modernizou o tratamento do assunto. A palavra trigonometria aparece pela primeira vez, como título de um livro seu. Seguindo Pitiscus, destacamos o britânico Napier, que estabeleceu regras para triângulos esféricos, que foram amplamente aceitas, enquanto sua maior contribuição, os logaritmos, ainda estavam sendo analisados e não eram reconhecidos como válidos por todos. Suas considerações sobre os triângulos esféricos foram publicadas postumamente no .Napier Analogies., do .Constructio. no ano de 1619, em Edinburgh. Outro grande expoente em trigonometria foi Oughtred. Em seu trabalho, de 1657, preocupou-se em desenvolvê-la do ponto de vista simbólico. No entanto, como o simbolismo algébrico estava pouco avançado para tornar isto possível, a idéia não foi aceita até que Euler exercesse sua influência neste sentido no século XVIII. John Newton (1622-1678) publicou em 1658 o tratado Trigonometria Britannica que, embora baseado nos trabalhos de Gellibrand e outros escritores, era o mais completo livro do tipo que havia surgido em seu tempo. Newton e Gellibrand anteciparam a tendência atual de introduzir divisões centesimais do ângulo nas tábuas trigonométricas. O próximo importante passo em trigonometria foi dado por John Wallis (1616-1703) ao expressar fórmulas usando equações em vez de proporções, e por trabalhar com séries infinitas. Sir Isaac Newton (1642-1727) também deu sua contribuição à trigonometria pois, paralelamente aos seus estudos de cálculo infinitesimal apoiados fortemente na geometria do movimento, trabalhou com séries infinitas, tendo expandido arcsen x em séries e, por reversão, deduzido a série para sen x. Além disso, comunicou a Leibniz a fórmula geral para sen (nx) e cos(nx) tendo, com isso, aberto a perspectiva para o sen x e o cos x surgirem como números e não como grandezas, sendo Kastner, em 1759, o primeiro matemático a definir as funções trigonométricas de números puros. A trigonometria toma a sua forma atual quando Euler (1707-1783) adota a medida do raio de um círculo como unidade e define funções aplicadas a um número e não mais a um ângulo como era feito até então, em 1748. A transição das razões trigonométricas para as funções periódicas começou com Viète no século XVI, teve novo impulso com o aparecimento do Cálculo Infinitesimal no século XVII e culminou com a figura de Euler. O tratamento analítico das funções trigonométricas está no livro .Introductio in Analysin Infinitorum., de 1748, considerado a obra chave da Análise Matemática. Nele, o seno deixou de ser uma grandeza e adquiriu o status de número obtido pela ordenada de um ponto de um círculo unitário. Assim, a trigonometria, no início uma auxiliar da Agrimensura e da Astronomia, tornou-se primeiramente autônoma e por fim transformou-se em uma parte da Análise Matemática, expressando relações entre números complexos, sem necessidade de recorrer a arcos ou ângulos. Para encerrar, fica a nossa mensagem ao professor para que, ao ensinar trigonometria, e alguma forma se discuta com os alunos questões que os levem a perceber que o conhecimento matemático não "caiu do céu" ou surgiu pronto e acabado e que de alguma forma a evolução possa ser acompanhada e alguma parte do caminho feita com eles. BIBLIOGRAFIA · BOYER, C.B. História da Matemática, Editora Blücher, São Paulo, SP, 1974. · COSTA, Nielce M. Lobo.http://www.paulofreire.org/Biblioteca/histtrigon.pdf. Consultado em: 08/10/2007. · EVES, H.: Introdução à História da Matemática, Editora da UNICAMP, Campinas, SP, 1997. · RIBNIKOV, K. História de las matemáticas. Moscou: Mir, 1987. · SMITH, D.E. History of Mathematics. Vol. I, Dover Publications, INC. New York, 1958. · STRUIK, D.J.. História Concisa das Matemáticas. - Trad. de J.C. Santos Guerreiro, Ed. Gradiva, Lisboa, 1992.